Série limérique

El sonme ed deus nombes ch'est ech résultat ed leu addicion.

3 + 8 = 11

Unne série limérique ch'est el généralisacion del nocion d' sonme finie.

Chés sonmes ed suites d' nombes sont notées avu ch'symbole sonme $\sum$ .

\sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}

\sum _{i\mathop {=} 3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.

S=1+2+3+...+(n-1)+n=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}.

Série limérique converginte et diverginte

Soit $(u_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ unne suite ed nombes réels avu ech terme général $u_{k}$ .

chés réels $S_{n}:=\sum _{k=0}^{n}u_{k}$ ch'est chés sonmes parcielles del série
el série converge si el suite $(S_{n})$ a unne limite finie. Dins ch' cas-lo, el sonme del série est el limite del suite des somnes parcielles :
$\sum _{k=0}^{+\infty }u_{k}=\lim _{n\to +\infty }S_{n}$

et el suite $(R_{n})$ d'chés restes est définie par:
$R_{n}=\sum _{k=0}^{+\infty }u_{k}-S_{n}=\sum _{k=n+1}^{+\infty }u_{k}$ .
Si unne série n' converge point, o dit qu' al est diverginte.

Afute : chés notacions :

\sum _{k\geq 0}u_{n}

,

\sum _{k=0}^{n}u_{k}

et

\sum _{k=0}^{+\infty }u_{k}

sont des coses différintes.

El sonme $S_{n}$ des $n+1$ prumiers termes d'unne suite jométrique $u_{n}=q^{n}$ avu un prumier terme $u_{0}=1$ et d' roéson $q\neq 1$ est :

S_{n}=u_{0}+u_{1}+\cdots +u_{n}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.

Si $|q|<1$ alors $q^{n+1}$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini. El suite $(S_{n})$ a unne limite finie :
$\lim _{n\to +\infty }S_{n}={\frac {1}{1-q}}$ .

El série ed terme général $q^{n}$ converge :
$\sum _{k=0}^{+\infty }u_{k}={\frac {1}{1-q}}$

Si $|q|>1$ alors $|q^{n+1}|$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers l'infini donc $|S_{n}|$ auchi. El suite $(S_{n})$ n'a point d' limite finie (si $q>1$ , $\lim _{n\to +\infty }S_{n}=+\infty$ ; si $q<-1$ , $(S_{n})$ n'a autchune limite, finie o infinie).
El série ed terme général $q^{n}$ diverge.

Si $q=-1$ , $S_{n}$ vaut alternativemint 1 et 0. Il n'y a point ed limite.
El série $\Sigma (-1)^{n}$ est diverginte.